原始多項式をX^4+X+1として GF(2^4)拡大体の元を列挙すると ０・・・・００００１・・・・０００１α・・・・００１０α＾２・・０１００α＾３・・１０００α＾４・・００１１α＾５・・０１１０α＾６・・１１００α＾７・・１０１１α＾８・・０１０１α＾９・・１…

GF(2^4)の原始多項式はX^4+X+1 GF(2)に原始根αを導入してGF(2^4)拡大体をつくる。 G(X)=X^4+X+1とおくとG(X)=0の根は原始根αなのでG(α)=0 α＾４＋α＋１＝０ α＾４＝α＋１ これでＢＣＨ符号をつくってみよう。 α＾４＝α＋１を使って最大次の次数が３次になる…

まず、リードソロモン符号の生成多項式例えば（ｘ－α）（ｘ－α＾２）（ｘ－α＾３）（ｘ－α＾４）であるが、1個前の記事で、わかるひとはわかるように符号は、生成多項式でわりきれるように、生成多項式でわったときに、そのままでは余りがでる多項式に余りを…

例えばCRC4っていうのがある生成多項式がx^4+x+1となっている。これで誤りを検出する符号をつくるにはどうするかということを説明してみよう。 ０＋０は０、０＋１は１、１＋０は１、１＋１は０、 ０ｘ０は０、０ｘ１は０、１ｘ０は０、１ｘ１は１ 引き算は…

最大3個の誤りを訂正できるBCH符号、もしくは、最大3ブロックの誤りを訂正できるリードソロモン符号で、3個(3ブロック)の誤りがあるのではないかと疑ってまず3次式による誤り位置多項式を $ \beta_{3} x^{3} + \beta_{2} x^{2} + \beta_{1} x + 1=0 $ とする…

なんでかわかんなかった係数が０か１のつまりGF(2)の場合の多項式についてf(x^2)=f(x)^2が成り立つわけがわかった。 GF(2)のガロア体の多項式の一般形で表すと数学的帰納法で証明できる (a+b)^2=a^2+2ab+b^2の公式を順番に適用していけばよい。 GF(2)のガロ…

よく群、環、体の理論で、加法について閉じているとか乗法について閉じているというけど 減算、除算について閉じているといわないのはなぜかというと 加法について閉じていて、かつ単位元が存在し、かつ逆元が存在すると減算が定義できる。そして減算につい…

X^8+X^4+X^3+X^2+1は、原始多項式である。地デジやブルーレイや光通信やＱＲコードのリードソロモン符号ででてくる。なぜ、これが多用されているかというと、コンピュータはデータをバイト（８ビット）の整数倍で処理するので都合がいいからである。X^8+X^4+…

昔の記事でf(x)=x^8-xとおくと、GF(2^3)上でのf(x)=０の根が、GF(2^3)のすべての元になる理由がわからなかったのですっきりわかったら書くという宿題の答えが半分でた。x^8-x=x(x-1)(x-α)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)(x-α^5)(x-α^6)となる理由は まず、掛け算、足…

GF(2)からGF(2^3)のガロア拡大の理屈を工学部出身者向けに直観的に説明してみます。 まず、X^8-X=0の根がGF(2^3)の元であることを天下りで決めます。 なぜX^8-X=0の根がGF(2^3)の元であるかは zuruyasumineko2002.hatenablog.com で書いてます。 まず、X^8-X…

修正離散コサイン変換の式は次のとおりです。 \begin{equation} S(r)=\sum_{k=0}^{N-1} s(k){\rm cos}(\frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2} + \frac{N}{4})(r+\frac{1}{2})) ただし r=0 ～ \frac{N}{2}-1 \end{equation} これを離散フーリエ変換で表します。 …

リーマンのゼータ関数を $\zeta(s) $ とし、ガンマ関数を $ \Gamma(s) $ とする。 ここでクシー関数 $ \xi(s) $ を次のように定義する。 \begin{equation} \xi(s)=\zeta(s)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2) \tag{1} \end{equation} 上式で、 $ \zeta(s) $ は、リーマン…