修正離散コサイン変換とは、何か？（まとめ）

\begin{equation} S(r) = \sum_{k=0}^{N-1} s(k) {\rm cos}( \frac{2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2} + \frac{N}{4})(r+ \frac{1}{2})) 　ただし(r = 0～N/2-1) \end{equation}

\begin{equation}  = \frac{1}{2}( \sum_{k=0}^{N-1} s(k) {\rm exp}(i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2} + \frac{N}{4})(r+\frac{1}{2}))+\sum_{k=0}^{N-1} s(k) {\rm exp}(-i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2} + \frac{N}{4})(r+\frac{1}{2}))) \end{equation}

\begin{equation} =\frac{1}{2}( \sum_{k=0}^{N/2-1} s(k) {\rm exp}(i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2} + \frac{N}{4})(r+\frac{1}{2}))+\sum_{k=N/2}^{N-1} s(k) {\rm exp}(i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2} + \frac{N}{4})(r+\frac{1}{2})) \end{equation}

 \begin{equation} +\sum_{k=0}^{N/2-1} s(k) {\rm exp}(-i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2} + \frac{N}{4})(r+\frac{1}{2})) + \sum_{k=N/2}^{N-1} s(k) {\rm exp}(-i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2} + \frac{N}{4})(r+\frac{1}{2})))\end{equation}

\begin{equation} =\frac{1}{2}( \sum_{k=0}^{N/2-1} s(k) {\rm exp}(i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2} + \frac{N}{4})(r+\frac{1}{2}))+\sum_{k=N/2}^{N-1} s(k) {\rm exp}(i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2} + \frac{N}{4})(r+\frac{1}{2})) \end{equation}

\begin{equation} +\sum_{k=0}^{N/2-1} s(\frac{N}{2}-1-k) {\rm exp}(-i \frac {2 \pi} {N} (\frac{N}{2}-1-k+ \frac{1}{2}+ \frac{N}{4})(r+\frac{1}{2})) \end{equation}

\begin{equation}  + \sum_{k=N/2}^{N-1} s(\frac{3N}{2}-1-k) {\rm exp}(-i \frac {2 \pi} {N} (\frac{3N}{2}-1-k+ \frac{1}{2} + \frac{N}{4})(r+\frac{1}{2})))\end{equation}

\begin{equation} =\frac{1}{2}( \sum_{k=0}^{N/2-1} s(k) {\rm exp}(i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2} + \frac{N}{4})(r+\frac{1}{2}))+\sum_{k=N/2}^{N-1} s(k) {\rm exp}(i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2} + \frac{N}{4})(r+\frac{1}{2})) \end{equation}

\begin{equation} +\sum_{k=0}^{N/2-1} s(\frac{N}{2}-1-k) {\rm exp}(-i \frac {2 \pi} {N} (\frac{3N}{4}-k- \frac{1}{2})(r+\frac{1}{2})) \end{equation}

\begin{equation}  + \sum_{k=N/2}^{N-1} s(\frac{3N}{2}-1-k) {\rm exp}(-i \frac {2 \pi} {N} (\frac{7N}{4}-k- \frac{1}{2})(r+\frac{1}{2})))\end{equation}

\begin{equation} =\frac{1}{2}( \sum_{k=0}^{N/2-1} s(k) {\rm exp}(i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2} + \frac{N}{4})(r+\frac{1}{2}))+\sum_{k=N/2}^{N-1} s(k) {\rm exp}(i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2} + \frac{N}{4})(r+\frac{1}{2})) \end{equation}

\begin{equation} +\sum_{k=0}^{N/2-1} s(\frac{N}{2}-1-k) {\rm exp}(i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2}-\frac{3N}{4})(r+\frac{1}{2})) \end{equation}

\begin{equation}  + \sum_{k=N/2}^{N-1} s(\frac{3N}{2}-1-k) {\rm exp}(i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2}-\frac{7N}{4})(r+\frac{1}{2})))\end{equation}

\begin{equation} =\frac{1}{2}( \sum_{k=0}^{N/2-1} s(k) {\rm exp}(i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2} + \frac{N}{4})(r+\frac{1}{2}))+\sum_{k=N/2}^{N-1} s(k) {\rm exp}(i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2} + \frac{N}{4})(r+\frac{1}{2})) \end{equation}

\begin{equation} -\sum_{k=0}^{N/2-1} s(\frac{N}{2}-1-k) {\rm exp}(i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2}+\frac{N}{4})(r+\frac{1}{2})) \end{equation}

\begin{equation}  + \sum_{k=N/2}^{N-1} s(\frac{3N}{2}-1-k) {\rm exp}(i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2}+\frac{N}{4})(r+\frac{1}{2})))\end{equation}

\begin{equation} S(r)=\frac{1}{2}( \sum_{k=0}^{N/2-1} (s(k)-s(\frac{N}{2}-1-k)) {\rm exp}(i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2}+ \frac{N}{4})(r+\frac{1}{2})) \end{equation}

\begin{equation} + \sum_{k=N/2}^{N-1} (s(k)+s(\frac{3N}{2}-1-k)) {\rm exp}(i \frac {2 \pi} {N} (k+ \frac{1}{2} + \frac{N}{4})(r+\frac{1}{2}))) \end{equation}

\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=N/4+1/2}^{3N/4-1/2}(s(k- \frac{N}{4}- \frac{1}{2})-s( \frac{3N}{4}- \frac{1}{2}-k)){\rm exp}(i \frac {2 \pi}{N}k(r+ \frac{1}{2})) \end{equation}

\begin{equation} + \frac{1}{2} \sum_{k=3N/4+1/2}^{5N/4-1/2}(s(k- \frac{N}{4}- \frac{1}{2})+s( \frac{7N}{4}- \frac{1}{2}-k)){ \rm exp}(i \frac {2 \pi}{N}k(r+ \frac{1}{2})) \end{equation}

\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=N/4+1/2}^{3N/4-1/2}{ \rm exp}(i \frac{ \pi k}{N})(s(k- \frac{N}{4}- \frac{1}{2})-s( \frac{3N}{4}- \frac{1}{2}-k)){\rm exp}(i \frac {2 \pi}{N}kr ) \end{equation}

\begin{equation} + \frac{1}{2} \sum_{k=3N/4+1/2}^{5N/4-1/2}{ \rm exp}(i \frac{ \pi k}{N})(s(k- \frac{N}{4}- \frac{1}{2})+s( \frac{7N}{4}- \frac{1}{2}-k)){ \rm exp}(i \frac {2 \pi}{N}kr) \end{equation}

\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=N/4+1/2}^{3N/4-1/2}{ \rm exp}(i \frac{ \pi k}{N})(s(k- \frac{N}{4}- \frac{1}{2})-s( \frac{3N}{4}- \frac{1}{2}-k)){\rm exp}(i \frac {2 \pi}{N}kr ) \end{equation}

\begin{equation} + \frac{1}{2} \sum_{k=3N/4+1/2}^{N-1/2}{ \rm exp}(i \frac{ \pi k}{N})(s(k- \frac{N}{4}- \frac{1}{2})+s( \frac{7N}{4}- \frac{1}{2}-k)){ \rm exp}(i \frac {2 \pi}{N}kr) \end{equation}

\begin{equation} + \frac{1}{2} \sum_{k=N+1/2}^{5N/4-1/2}{ \rm exp}(i \frac{ \pi k}{N})(s(k- \frac{N}{4}- \frac{1}{2})+s( \frac{7N}{4}- \frac{1}{2}-k)){ \rm exp}(i \frac {2 \pi}{N}kr) \end{equation}

\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=N/4+1/2}^{3N/4-1/2}{ \rm exp}(i \frac{ \pi k}{N})(s(k- \frac{N}{4}- \frac{1}{2})-s( \frac{3N}{4}- \frac{1}{2}-k)){\rm exp}(i \frac {2 \pi}{N}kr ) \end{equation}

\begin{equation} + \frac{1}{2} \sum_{k=3N/4+1/2}^{N-1/2}{ \rm exp}(i \frac{ \pi k}{N})(s(k- \frac{N}{4}- \frac{1}{2})+s( \frac{7N}{4}- \frac{1}{2}-k)){ \rm exp}(i \frac {2 \pi}{N}kr) \end{equation}

\begin{equation} + \frac{1}{2} \sum_{k=1/2}^{N/4-1/2}{ \rm exp}(i \frac{ \pi (k+N)}{N})(s(k+N- \frac{N}{4}- \frac{1}{2})+s( \frac{7N}{4}- \frac{1}{2}-(k+N))){ \rm exp}(i \frac {2 \pi}{N}(k+N)r) \end{equation}

\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=N/4+1/2}^{3N/4-1/2}{ \rm exp}(i \frac{ \pi k}{N})(s(k- \frac{N}{4}- \frac{1}{2})-s( \frac{3N}{4}- \frac{1}{2}-k)){\rm exp}(i \frac {2 \pi}{N}kr ) \end{equation}

\begin{equation} + \frac{1}{2} \sum_{k=3N/4+1/2}^{N-1/2}{ \rm exp}(i \frac{ \pi k}{N})(s(k- \frac{N}{4}- \frac{1}{2})+s( \frac{7N}{4}- \frac{1}{2}-k)){ \rm exp}(i \frac {2 \pi}{N}kr) \end{equation}

\begin{equation} - \frac{1}{2} \sum_{k=1/2}^{N/4-1/2}{ \rm exp}(i \frac{ \pi k}{N})(s(k+ \frac{3N}{4}- \frac{1}{2})+s( \frac{3N}{4}- \frac{1}{2}-k)){ \rm exp}(i \frac {2 \pi}{N}kr) \end{equation}

\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=N/4}^{3N/4-1} { \rm exp}(iπ \frac{k+ \frac{1}{2}}{N}) (s(k- \frac{N}{4})-s(  \frac{3N}{4}-1-k)){ \rm exp}(i \frac{2π}{N} (k+ \frac{1}{2})r)  \end{equation}

 \begin{equation} +  \frac{1}{2} \sum_{k=3N/4}^{N-1}{ \rm exp}(iπ \frac{k+ \frac{1}{2}}{N})(s(k- \frac{N}{4})+s(  \frac{7N}{4}-1-k)){ \rm exp}(i \frac{2π}{N} (k+ \frac{1}{2})r)  \end{equation}

\begin{equation} -  \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N/4-1}{ \rm exp}(iπ \frac{k+ \frac{1}{2}}{N})(s(k+ \frac{3N}{4})+s(  \frac{3N}{4}-1-k)){ \rm exp}(i \frac{2π}{N} (k+ \frac{1}{2})r)  \end{equation}

\begin{equation} = \frac{1}{2}{ \rm exp}(i \frac{πr}{N}) \sum_{k=N/4}^{3N/4-1}{ \rm exp}(iπ \frac{k+ \frac{1}{2}}{N}) (s(k- \frac{N}{4})-s(  \frac{3N}{4}-1-k)){ \rm exp}(i \frac{2π}{N} kr)  \end{equation}

 \begin{equation} + \frac{1}{2}{ \rm exp}(i \frac{πr}{N}) \sum_{k=3N/4}^{N-1}{ \rm exp}(iπ \frac{k+ \frac{1}{2}}{N}) (s(k- \frac{N}{4})+s(  \frac{7N}{4}-1-k)){ \rm exp}(i \frac{2π}{N} kr)  \end{equation}

 \begin{equation} - \frac{1}{2}{ \rm exp}(i \frac{πr}{N}) \sum_{k=0}^{N/4-1}{ \rm exp}(iπ \frac{k+ \frac{1}{2}}{N}) (s(k+ \frac{3N}{4})+s(  \frac{3N}{4}-1-k)){ \rm exp}(i \frac{2π}{N} kr)  \end{equation}

修正離散コサイン変換を離散フーリエ変換で表すと、上式のようになります。

 $ 0～N/4-1 , N/4～3N/4-1 , 3N/4～N-1 $ の３つの範囲で項が３つの式になりますが

それぞれみていくと、 $ N/4～3N/4-1 $ の範囲には、数列の前半の奇対称数列成分

がきていて

 $ 3N/4～N-1 $ の範囲には、数列の後半の偶対称数列成分の前半部分がきていて

$ 0～N/4-1 $ の範囲には、数列の後半の偶対称数列成分の後半部分に対して符号

を逆にしたものがきています。

意味を紐解いていくと、変換をかける数列 $ s(k) (k=0～N-1) $ の前半部分の奇対称数列

成分をとりだし、後半部分の偶対称数列成分をとりだし、並べて、4等分し、最後の1/4

部分を前にもってきて、そのもってきた部分のみ符号を反対にした数列

（この数列は奇対称数列になっています。）

に $ { \rm exp}(iπ \frac{k+ \frac{1}{2}}{N}) $

をかけたものを離散フーリエ変換し、しあげに $  \frac{1}{2}{ \rm exp}(i \frac{πr}{N}) $ を

かけたものとなります。 $ r $ の範囲は $ 0～N/2-1 $ なので、半分しか

とりだしません。フーリエ変換として見ると、 $ r = 0～N-1 $ で値を取り出せます。

しかし、 $ N/2～N-1 $ の残りの半分は同じもので冗長なのではぶくのが

修正離散コサイン変換です。

奇対称数列の離散フーリエ変換は、実部が０で、虚部が奇対称数列になります。虚部の

奇対称数列は、半分だけわかれば、もう半分はわかります。半分だけで実数として計算

するのが離散サイン変換です。

修正離散コサイン変換は、実は、変換をかける数列 $ s(k) (k=0～N-1) $ の前半部分の

奇対称数列成分の半分と後半部分の偶対称数列成分の半分をならべたものを変形

したものの離散サイン変換（実はDCTⅣ、このすぐ後の記事で導出しています。）

なのです。厳密な対称性とかを考慮するとちょっと

違いますが、本質的には、そう思っていいと思います。