DCTⅠをDFTで表す。

この記事は、DCTⅠ自身が逆変換になるDCTⅠの話ではありません。

本記事のDCTⅠの定義だと情報に不足が生じて、逆変換の本記事定義のDCTⅠでは

もとにもどりません。正しい定義はWIKIPEDIAの式になります。

その式については、改めて書きたいと思います。

以下の記事は、DCTⅡ～Ⅳと対称性をもたせたものが

成り立つと思っていた時代の記事です。

逆変換があるかわからないので、この記事は読まないほうがいいと思います。

情報が欠落するのでおそらく逆変換はないと思います。

DCTⅠの定義式は次の通りです。

\begin{equation}  S(r)= \sum_{k=0}^{N-1} s(k) { \rm cos}( \frac{2π}{2N}kr) \end{equation}

この式を変形して

\begin{equation}  S(r)= \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1} s(k) exp( \frac{i2π}{2N}kr) + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1} s(k) exp( \frac{-i2π}{2N}kr) \end{equation}

\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1} s(k) exp( \frac{i2π}{2N}kr) + \frac{1}{2} \sum_{k=N+1}^{2N} s(2N-k) exp( \frac{-i2π}{2N}(2N-k)r) \end{equation}

\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1} s(k) exp( \frac{i2π}{2N}kr) + \frac{1}{2} \sum_{k=N+1}^{2N} s(2N-k) exp( \frac{-i2π}{2N}(-k)r) \end{equation}

\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1} s(k) exp( \frac{i2π}{2N}kr) + \frac{1}{2} \sum_{k=N+1}^{2N} s(2N-k) exp( \frac{i2π}{2N}kr) \end{equation}

 $ k=0 $ と $ k=2N $ の場合を外に出すと

\begin{equation}  S(r) = \frac{s(0)}{2} + \frac{s(0)}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N-1}s(k)exp( \frac{i2π}{2N}kr) + \frac{1}{2} \sum_{k=N+1}^{2N-1}s(2N-k)exp( \frac{i2π}{2N}kr)\end{equation}

\begin{equation}  = s(0) + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N-1}s(k)exp( \frac{i2π}{2N}kr) + \frac{1}{2} \sum_{k=N+1}^{2N-1}s(2N-k)exp( \frac{i2π}{2N}kr)\end{equation}

ここで

 $ p(k) = 　　　0 　(k=0,N) $

　　　　　　 $ s(k)　　(k=1～N-1) $

 　　　　　    $ s(2N-k)  　　(k=N+1～2N-1) $

とおくと

\begin{equation} S(r) = s(0) + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{2N-1}p(k)exp( \frac{i2π}{2N}kr) \end{equation}

となり、 $ s(1)～s(N-1) $ を $ N $ 点で鏡像をとったものの離散フーリエ変換で各変換係数に $ s(0) $ をたしたものになる。