この記事は、DCTⅠ自身が逆変換になるDCTⅠの話ではありません。
本記事のDCTⅠの定義だと情報に不足が生じて、逆変換の本記事定義のDCTⅠでは
もとにもどりません。正しい定義はWIKIPEDIAの式になります。
その式については、改めて書きたいと思います。
以下の記事は、DCTⅡ～Ⅳと対称性をもたせたものが
成り立つと思っていた時代の記事です。
逆変換があるかわからないので、この記事は読まないほうがいいと思います。
情報が欠落するのでおそらく逆変換はないと思います。
DCTⅠの定義式は次の通りです。
\begin{equation} S(r)= \sum_{k=0}^{N-1} s(k) { \rm cos}( \frac{2π}{2N}kr) \end{equation}
この式を変形して
\begin{equation} S(r)= \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1} s(k) exp( \frac{i2π}{2N}kr) + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1} s(k) exp( \frac{-i2π}{2N}kr) \end{equation}
\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1} s(k) exp( \frac{i2π}{2N}kr) + \frac{1}{2} \sum_{k=N+1}^{2N} s(2N-k) exp( \frac{-i2π}{2N}(2N-k)r) \end{equation}
\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1} s(k) exp( \frac{i2π}{2N}kr) + \frac{1}{2} \sum_{k=N+1}^{2N} s(2N-k) exp( \frac{-i2π}{2N}(-k)r) \end{equation}
\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1} s(k) exp( \frac{i2π}{2N}kr) + \frac{1}{2} \sum_{k=N+1}^{2N} s(2N-k) exp( \frac{i2π}{2N}kr) \end{equation}
$ k=0 $ と $ k=2N $ の場合を外に出すと
\begin{equation} S(r) = \frac{s(0)}{2} + \frac{s(0)}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N-1}s(k)exp( \frac{i2π}{2N}kr) + \frac{1}{2} \sum_{k=N+1}^{2N-1}s(2N-k)exp( \frac{i2π}{2N}kr)\end{equation}
\begin{equation} = s(0) + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N-1}s(k)exp( \frac{i2π}{2N}kr) + \frac{1}{2} \sum_{k=N+1}^{2N-1}s(2N-k)exp( \frac{i2π}{2N}kr)\end{equation}
ここで
$ p(k) = 0 (k=0,N) $
$ s(k) (k=1～N-1) $
$ s(2N-k) (k=N+1～2N-1) $
とおくと
\begin{equation} S(r) = s(0) + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{2N-1}p(k)exp( \frac{i2π}{2N}kr) \end{equation}
となり、 $ s(1)～s(N-1) $ を $ N $ 点で鏡像をとったものの離散フーリエ変換で各変換係数に $ s(0) $ をたしたものになる。
