修正離散コサイン変換とは何か２（まとめ）

前回の記事では詰めが甘い。

\begin{equation} S(r) = \frac{1}{2}{ \rm exp}(i \frac{πr}{N}) \sum_{k=N/4}^{3N/4-1}{ \rm exp}(iπ \frac{k+ \frac{1}{2}}{N}) (s(k- \frac{N}{4})-s(  \frac{3N}{4}-1-k)){ \rm exp}(i \frac{2π}{N} kr)  \end{equation}

 \begin{equation} + \frac{1}{2}{ \rm exp}(i \frac{πr}{N}) \sum_{k=3N/4}^{N-1}{ \rm exp}(iπ \frac{k+ \frac{1}{2}}{N}) (s(k- \frac{N}{4})+s(  \frac{7N}{4}-1-k)){ \rm exp}(i \frac{2π}{N} kr)  \end{equation}

 \begin{equation} - \frac{1}{2}{ \rm exp}(i \frac{πr}{N}) \sum_{k=0}^{N/4-1}{ \rm exp}(iπ \frac{k+ \frac{1}{2}}{N}) (s(k+ \frac{3N}{4})+s(  \frac{3N}{4}-1-k)){ \rm exp}(i \frac{2π}{N} kr)  \end{equation}

ここで

$ p(k) =  s(k- \frac{N}{4})-s(  \frac{3N}{4}-1-k)    (k=N/4～3N/4-1) $

$ s(k- \frac{N}{4})+s(  \frac{7N}{4}-1-k)   (k=3N/4～N-1） $

$ -s(k+ \frac{3N}{4})-s(  \frac{3N}{4}-1-k)    (k=0～N/4-1) $

とおくと

\begin{equation} S(r) = \frac{1}{2}{ \rm exp}(i \frac{πr}{N}) \sum_{k=0}^{N-1}{ \rm exp}(iπ \frac{k+ \frac{1}{2}}{N})p(k){ \rm exp}(i \frac{2π}{N}kr) \end{equation}

 $ p(k) $ は、奇対称数列となる。

MDCTをかける数列の前半の奇対称数列部とMDCTをかける数列の後半の偶対称数列部

を並べて、4等分し、最後の1/4を前にもってきて、その前に持ってきたものだけ符号を

変えたものである。

 \begin{equation} S(r) = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1}{ \rm exp}(iπ \frac{k+ \frac{1}{2}}{N})p(k){ \rm exp}(i \frac{2π}{N}(kr+ \frac{r}{2})) \end{equation}

 \begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1}{ \rm exp}(iπ \frac{k+ \frac{1}{2}}{N})p(k){ \rm exp}(i \frac{2π}{N}r(k+ \frac{1}{2})) \end{equation}

 \begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1}p(k){ \rm exp}(i \frac{2π}{N}( \frac{1}{2}(k + \frac{1}{2})+r(k+ \frac{1}{2}))) \end{equation}

 \begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1}p(k){ \rm exp}(i \frac{2π}{N} (k + \frac{1}{2})(r+ \frac{1}{2})) \end{equation}

以前のDCTⅣの記事を参照すると

\begin{equation} \sum_{k=0}^{N-1}s'(k){ \rm cos}( \frac{2π}{2N} (k + \frac{1}{2})(r+ \frac{1}{2})) = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{2N-1}p'(k){ \rm exp}( \frac{i2π}{2N} (k + \frac{1}{2})(r+ \frac{1}{2}))\end{equation}

$ p'(k)  =  s'(k)  (k=0～N-1) $

$　　　-s'(k)  (k=N～2N-1)  $

において、 $ N $ を $ \frac{N}{2} $ に書き換えると、$ k $ の範囲を考慮して $ s'(k) $ は

 $ p'(k) $ に書き換えられる。よって

\begin{equation} \sum_{k=0}^{N/2-1}p'(k){ \rm cos}( \frac{2π}{N} (k + \frac{1}{2})(r+ \frac{1}{2})) = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1}p'(k){ \rm exp}( \frac{i2π}{N} (k + \frac{1}{2})(r+ \frac{1}{2}))\end{equation}

 $ p'(k) $ を $ p(k) $ におきかえて、結局

 \begin{equation} S(r) = \sum_{k=0}^{N/2-1}p(k){ \rm cos}( \frac{2π}{N} (k + \frac{1}{2})(r+ \frac{1}{2})) \end{equation}

こうして、MDCTは、p(k)の前半部分のDCTⅣとなる。