DCTⅡの定義式は、次の通りです。
\begin{equation} S(r)= \sum_{k=0}^{N-1}s(k){ \rm cos}( \frac{2π}{2N}(k+ \frac{1}{2})r) \end{equation}
この式を変形します。
\begin{equation} S(r) = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1} s(k)exp( \frac{i2π}{2N}(k+ \frac{1}{2})r)+ \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1} s(k)exp( \frac{-i2π}{2N}(k+ \frac{1}{2})r) \end{equation}
\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1} s(k)exp( \frac{i2π}{2N}(k+ \frac{1}{2})r)+ \frac{1}{2} \sum_{k=N}^{2N-1} s(2N-1-k)exp( \frac{-i2π}{2N}(2N-1-k+ \frac{1}{2})r) \end{equation}
\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1} s(k)exp( \frac{i2π}{2N}(k+ \frac{1}{2})r)+ \frac{1}{2} \sum_{k=N}^{2N-1} s(2N-1-k)exp( \frac{-i2π}{2N}(-1-k+ \frac{1}{2})r) \end{equation}
\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1} s(k)exp( \frac{i2π}{2N}(k+ \frac{1}{2})r)+ \frac{1}{2} \sum_{k=N}^{2N-1} s(2N-1-k)exp( \frac{i2π}{2N}(k+ \frac{1}{2})r) \end{equation}
\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{2N-1} p(k)exp( \frac{i2π}{2N}(k+ \frac{1}{2})r)) \end{equation}
$ p(k) $ は、数列 $ s(k) (k=0～N-1) $ の後ろに、この数列を前後ひっくり返したものを
コピーしたものです。偶対称数列になります。さらに変形します。
\begin{equation} S(r) = \frac{1}{2} exp( \frac{iπr}{2N}) \sum_{k=0}^{2N-1} p(k)exp( \frac{i2π}{2N}kr) \end{equation}
DCTⅡをDFTで表すことができました。DFTをFFTにすれば、比較的高速に計算
できます。
$ \sum_{k=0}^{2N-1} p(k)exp( \frac{i2π}{2N}kr) $ は、 $ p(k) $ が線対称の状態から0.5
ずれているので、虚部も発生します。それを
$ exp( \frac{iπr}{2N}) $ が複素ベクトルを回転させて虚部０にしていると解釈できます。
そして、注目すべきことは、奇対称スペクトルになることです。またS(0)は直流分
となります。
フーリエ変換の形にもっていけば、フーリエ逆変換が導出できるので、そこから、
逆にDCTⅢの定義式へもっていくことが、可能です。DCTⅡの逆変換は、DCTⅢです。
フーリエ変換の片道計算が離散コサイン変換ですので、変換ゲインが半分になることに
注意してください。そして、DCTⅢをやってみると確認できるのですが、S(r)は奇対称
なスペクトルにS(0)を足したものです。
逆変換では、奇対称なスペクトルが、偶対称数列にもどります。実部の半分をとり
だせば、元の数列が再現します。
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