なんでかわかんなかった係数が０か１のつまりGF(2)の場合の多項式についてf(x^2)=f(x)^2が成り立つわけがわかった。 GF(2)のガロア体の多項式の一般形で表すと数学的帰納法で証明できる (a+b)^2=a^2+2ab+b^2の公式を順番に適用していけばよい。 GF(2)のガロ…

よく群、環、体の理論で、加法について閉じているとか乗法について閉じているというけど 減算、除算について閉じているといわないのはなぜかというと 加法について閉じていて、かつ単位元が存在し、かつ逆元が存在すると減算が定義できる。そして減算につい…

X^8+X^4+X^3+X^2+1は、原始多項式である。地デジやブルーレイや光通信やＱＲコードのリードソロモン符号ででてくる。なぜ、これが多用されているかというと、コンピュータはデータをバイト（８ビット）の整数倍で処理するので都合がいいからである。X^8+X^4+…

昔の記事でf(x)=x^8-xとおくと、GF(2^3)上でのf(x)=０の根が、GF(2^3)のすべての元になる理由がわからなかったのですっきりわかったら書くという宿題の答えが半分でた。x^8-x=x(x-1)(x-α)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)(x-α^5)(x-α^6)となる理由は まず、掛け算、足…

GF(2)からGF(2^3)のガロア拡大の理屈を工学部出身者向けに直観的に説明してみます。 まず、X^8-X=0の根がGF(2^3)の元であることを天下りで決めます。 なぜX^8-X=0の根がGF(2^3)の元であるかは zuruyasumineko2002.hatenablog.com で書いてます。 まず、X^8-X…