群、環、体の理論で、加算と乗算については議論されるけど、減算、除算についてはあまり議論されない理由

よく群、環、体の理論で、加法について閉じているとか乗法について閉じているというけど

減算、除算について閉じているといわないのはなぜかというと

加法について閉じていて、かつ単位元が存在し、かつ逆元が存在すると減算が定義できる。そして減算について閉じている。

乗法について閉じていて、かつ単位元が存在し、かつ逆元が存在すると除算が定義できる。そして除算について閉じている。

ということみたいです。

加法の単位元は０、aに0をたしてもaのままなので単位元

単位元０が存在して、aを任意の元とすると、a+b＝０（単位元）となるbが存在した場合、bをaの逆元という

bを足すことが、aを引くという引き算の定義になる。aが正の数だったらbは負の数になる。

負の数を足すことが、正の数をひくことに相当し、減算の定義になる。

乗算の単位元は１、aに１をかけてもaのままなので単位元

単位元１が存在して、aを任意の元とすると、axb=1（単位元）となるbが存在した場合、bをaの逆元という

bをかけることが、aでわるという割り算の定義になる。1/aをかけることがaでわることになる。