DCTⅠをDFTで表す。（今回のは、正しいと思います。）

DCTⅠの定義は、次の通りです。

\begin{equation} S(r) = \frac{1}{2} s(0)+ \frac{1}{2} s(N-1)(-1)^r+ \sum_{k=1}^{N-2}s(k) {\rm cos} \frac{2πkr}{2N-2} \end{equation}

本式を変形します。

\begin{equation} S(r) = \frac{1}{2} s(0)+ \frac{1}{2} s(N-1)(-1)^r+ \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N-2}s(k){\rm exp} \frac{i2πkr}{2N-2} + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N-2}s(k){\rm exp} \frac{-i2πkr}{2N-2} \end{equation}

\begin{equation} = \frac{1}{2} s(0)+ \frac{1}{2} s(N-1)(-1)^r+ \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N-2}s(k){\rm exp} \frac{i2πkr}{2N-2} + \frac{1}{2} \sum_{k=N}^{2N-3}s(2N-2-k){\rm exp} \frac{-i2π(2N-2-k)r}{2N-2} \end{equation}

\begin{equation} = \frac{1}{2} s(N-1)(-1)^r+ \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-2}s(k){\rm exp} \frac{i2πkr}{2N-2} + \frac{1}{2} \sum_{k=N}^{2N-3}s(2N-2-k){\rm exp} \frac{i2πkr}{2N-2} \end{equation}

\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1}s(k){\rm exp} \frac{i2πkr}{2N-2} + \frac{1}{2} \sum_{k=N}^{2N-3}s(2N-2-k){\rm exp} \frac{i2πkr}{2N-2} \end{equation}

ここで

$ p(k) = s(k) (k = 0 ～ N-1) $

　　　$ s(2N-2-k) (k= N ～ 2N-3) $

とおくと

\begin{equation} S(r) = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{2N-3}p(k){\rm exp} \frac{i2πkr}{2N-2} \end{equation}

となり、2N-2ポイントのDFTで表せました。

N-1の2倍は2(N-1) = 2N-2です。

N'=N-1で変数変換してみると、N'点の変換を偶対称に展開して2N'ポイントのDFTを

していることがわかります。