DCTⅢをDFTで表す。

DCTⅢの定義式は、次の通りである。

\begin{equation} S(r) = \sum_{k=0}^{N-1}s(k){ \rm cos}( \frac{2π}{2N}k(r+ \frac{1}{2})) \end{equation}

この式を変形する。

\begin{equation} S(r) = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1}s(k) exp( \frac{i2π}{2 N}k(r + \frac{1}{2})) + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1}s(k) exp( \frac{-i2π}{2N}k(r + \frac{1}{2}))  \end{equation}

\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1}s(k) exp( \frac{i2π}{2 N}k(r + \frac{1}{2})) + \frac{1}{2} \sum_{k=N+1}^{2N}s(2N-k)exp( \frac{-i2π}{2N}(2N-k)(r+ \frac{1}{2})) \end{equation} 

\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1}s(k) exp( \frac{i2π}{2 N}k(r + \frac{1}{2})) -  \frac{1}{2} \sum_{k=N+1}^{2N}s(2N-k)exp( \frac{-i2π}{2N}(-k)(r+ \frac{1}{2})) \end{equation}

\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1}s(k) exp( \frac{i2π}{2 N}k(r + \frac{1}{2})) -  \frac{1}{2} \sum_{k=N+1}^{2N}s(2N-k)exp( \frac{i2π}{2N}k(r+ \frac{1}{2})) \end{equation}

\begin{equation} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1}s(k)exp( \frac{iπk}{2N}) exp( \frac{i2π}{2 N}kr) -  \frac{1}{2} \sum_{k=N+1}^{2N}s(2N-k)exp( \frac{iπk}{2N})exp( \frac{i2π}{2N}kr) \end{equation}

ここで $ \sum $ から $ k=0 $ と $ k=2N $ を分離すると

\begin{equation} S(r) = \frac{1}{2}s(0) + \frac{1}{2}s(0) + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N-1}s(k)exp( \frac{iπk}{2N}) exp( \frac{i2π}{2 N}kr) -  \frac{1}{2} \sum_{k=N+1}^{2N-1}s(2N-k)exp( \frac{iπk}{2N})exp( \frac{i2π}{2N}kr) \end{equation}

\begin{equation} = s(0) + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N-1}s(k)exp( \frac{iπk}{2N}) exp( \frac{i2π}{2 N}kr) -  \frac{1}{2} \sum_{k=N+1}^{2N-1}s(2N-k)exp( \frac{iπk}{2N})exp( \frac{i2π}{2N}kr) \end{equation}

ここで $ p(k) =   0 (k=0,N) $

    　　  　　   $   s(k) (k=1～N-1) $

　　　　　　$ -s(2N-k) (k=N+1～2N-1) $

とおくと

\begin{equation} S(r) = s(0) + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{2N-1}p(k)exp( \frac{iπk}{2N}) exp( \frac{i2π}{2 N}kr) \end{equation}

このように  $ k=N $ を対称の中心とする奇対称数列に $ exp( \frac{iπk}{2N}) $

をかけたものを離散フーリエ変換したものにs(0)をたしたものがDCTⅢである。

 $ s(0) $を分離することで、奇対称数列化ができ、$ exp( \frac{iπk}{2N}) $ をかけること

で実偶対称数列から０．５ずれたの変換結果が得られる。