誤り訂正符号の生成多項式
まず、リードソロモン符号の生成多項式
例えば
（ｘ－α）（ｘ－α＾２）（ｘ－α＾３）（ｘ－α＾４）
であるが、
1個前の記事で、わかるひとはわかるように
符号は、生成多項式でわりきれるように、生成多項式でわったときに、そのままでは余りがでる多項式に余りを足して符号とする。このとき生成多項式の最大次の項のべきの数をｋとするとｘ＾ｋを送りたいデータの多項式にかけてやって、ｘ＾（ｋ－１）、ｘ＾（ｋ－２）、・・・、ｘ＾０の係数を０にする。
割り算するとあまりがでる。そのあまりを被除数多項式にたしてやれば、生成多項式で割り切れる。
あまりは、検査ビットと呼ばれる。
さて本題にはいり、
（ｘ－α）（ｘ－α＾２）（ｘ－α＾３）（ｘ－α＾４）
でわりきれるなら
符号多項式は、
（ｘ－α）（ｘ－α＾２）（ｘ－α＾３）（ｘ－α＾４）＊多項式（商）
とあらわせる。
この多項式をｆ（ｘ）とすれば
ｆ（α）＝０
ｆ（α＾２）＝０
ｆ（α＾３）＝０
ｆ（α＾４）＝０
となる。
生成多項式でわりきれるか、実際にわってやらなくても
上の４つの式をみたすことが、生成多項式でわりきれる必要十分となる。
シンドローム計算とは、上の四つの式を計算することである。
ＢＣＨ符号では
生成多項式をもとめるとこからやらなくちゃいけない。
原始多項式の根になっている原始元αを導入してガロア拡大体をつくる。
１、α、α＾２、α＾３・・・を代入して０になるような生成多項式を考える。
このとき、生成多項式を展開すると、各項の係数が１か０になるものをつくらなければならない。０と１で符号をつくるにはαがでてきてはならないからである。ＧＦ（２）の多項式をｆ（ｘ）とするとｆ（ｘ）＾２＝ｆ（ｘ＾２）が成り立つ。
ＧＦ（２）を拡大したガロア拡大体でもｆ（ｘ）＾２＝ｆ（ｘ＾２）が成り立つ。
ｆ（ｘ）＾２＝ｆ（ｘ＾２）＝０とおくと
多項式が根αをもつならα＾２、α＾４、α＾８・・・も根である
１を代入して０になるには
x-1
これって普通の偶奇パリティに一致する
αを代入して０になるには
x-αだが
展開した生成多項式の係数が０か１になるとき、その生成多項式はα、α＾２、α＾４、α＾８、α＾１６・・・が根にならなくてはならないので
（ｘ－α）（ｘ－α＾２）（ｘ－α＾４）（ｘ－α＾８）（ｘ－α＾１６）・・・
となるがＧＦ（２＾４）のガロア拡大体を考えるときα＾１５＝１＝α＾０になるので
ｘ－α＾１６＝ｘ－αとなる。
これは、すでにでてきているので、必要はない
よって
（ｘ－α）（ｘ－α＾２）（ｘ－α＾４）（ｘ－α＾８）
を展開して、係数が０か１になればいい
計算するとｘ＾４＋ｘ＋１となる。
これをｆ（ｘ）とおくとｆ（α）＝０となる。
シンドロームｆ（α）ｆ（α＾２）がこの生成多項式を使うと誤りがない時０になるので
１個の誤りを訂正できる。
２個の誤りを訂正するにはｆ（α）ｆ（α＾２）ｆ（α＾３）ｆ（α＾４）がシンドローム
にならなくてはならないので
(ｘ-α＾３）（ｘ－α＾６）（ｘ－α＾１２）（ｘ－α＾２４）（ｘーα＾４８）（ｘ－α＾９６）・・・
ＧＦ（２＾４）でのおきて、α＾１５＝１を使うと
（ｘ－α＾３）（ｘ－α＾６）（ｘ－α＾１２）（ｘ－α＾９）
となる
これを、展開すると、ｘ＾４＋ｘ＾３＋ｘ＾２＋ｘ＋１になり、係数が０か１になる。
２個の誤りを訂正するには、生成多項式は
（ｘ＾４＋ｘ＋１）＊（ｘ＾４＋ｘ＾３＋ｘ＾２＋ｘ＋１）
＝ｘ＾８＋ｘ＾７＋ｘ＾６＋ｘ＾４＋１
になる。
最大訂正可能誤り数の２倍の個数のαのべきの数が連続したシンドロームが誤りを訂正するには必要である。
最大誤り数２だったら、４つのシンドロームである。
この４つのシンドロームを計算するには、生成多項式が、α、α＾２、α＾３、α＾４という根をもてばいいわけである。
