ＣＲＣ符号（ＢＣＨ符号の作り方はＣＲＣ符号と同じ）

例えばCRC4っていうのがある
生成多項式がx^4+x+1となっている。
これで誤りを検出する符号をつくるにはどうするかということを説明してみよう。

０＋０は０、０＋１は１、１＋０は１、１＋１は０、

０ｘ０は０、０ｘ１は０、１ｘ０は０、１ｘ１は１

引き算は、足し算と同じ。

0÷1は０、1÷1＝１
という規則をつくると
０と１だけしかでてこない計算ができる。

これは2で割った余りで分類される世界である。

1+1=2だけど2は2で割った余りが0だから1+1=0になる。

1+1=0ということと引き算が足し算と同じということ以外は、普通の整数の演算と同じである。

2で割った余りで分類される世界も四則演算がなりたつようにできるわけである。

四則演算が成り立つ世界のことを体という。

よくみてみると足し算はEXOR、掛け算はＡＮＤになっている。

要素（専門用語で元という）が｛０，１｝からなり四則演算が成り立つ世界を

ＧＦ（２）という。

ＧＦというのはGalois Fieldの略。日本語にするとガロア体である

これだと多ビットの符号を扱えないので

多項式を使って拡張する。

1*x^4+0*x^3+1*x^2+1*x^1+1*X^0

という係数が０か１の多項式を考えると

1*x^4+0*x^3+1*x^2+1*x^1+1*X^0
=X^4+x^2+x^1+1

これは１０１１１と表現しても

情報はうしなわれない。

そこでこの１０１１１を送りたい情報として、ＣＲＣ４をつけてみよう
４ビットの誤り発見のためのビットである。

なんでもいいんだけど、この１０１１１をおくりたいとき、上の逆をやって
多項式にする。
するとx^4+x^2+x+1となる。

さて、多項式の割り算を復習しよう

といってもＧＦ（２）での多項式の割り算である

ここでＣＲＣ４の生成多項式X^4+x+1でわってみよう。

ここで、x^4+x^2+x+1をx^4+x+1でわりたいとこだけど
そうはしないで

x^4+x^2+x+1にx^4をかける

するとx^8+x^6+x^5+x^4となる

１０１１１が１０１１１００００になるわけである。

生成多項式でわってみよう

生成多項式は10011である

余りは１１００

101110000を10011でわったあまりが1100
っていうことは101110000に1100をたした101111100は１００１１でわりきれるのはわかるだろうか
割ったら余りがでて割り切れなかったんだから、被除数にその余りをたしてもう一度割って
みれば割り切れるよね。(あれれ、ひかないといけないんじゃないと思った方は、わかってる。足し算と引き算は同じだということを思い出してね。）
ＣＲＣ４というのはあまりの１１００
で
１０１１１をＣＲＣ４をつけて符号化すると

１０１１１１１００となる

受信側でも生成多項式でわってやると、どっかビットが化けてれば、生成多項式でわったとき
あまりがでる。それで、誤りを検出できるわけである。もちろん、割り切れれば誤りはない
というわけである。

ＢＣＨ符号の作り方も同じで、ＢＣＨの生成多項式を同じ手法で割っておくるわけです。

BCH符号は一工夫して、誤りを訂正できるけど、CRCと同じ符号の作り方をするので

ＢＣＨ符号はＣＲＣ符号と同じく誤りを検出できます。