完備なゼータ関数と呼ばれるクシー関数(素数の並びを決める素数関数について)

リーマンのゼータ関数を $\zeta(s) $ とし、ガンマ関数を $ \Gamma(s) $ とする。

ここでクシー関数 $ \xi(s) $ を次のように定義する。

 \begin{equation} \xi(s)=\zeta(s)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)  \tag{1} \end{equation}

 上式で、 $ \zeta(s) $ は、リーマンのゼータ関数なので、 $ s=1 $ 以外で有限値をもつものとする。

 $ \Gamma(s/2) $ の $ s=0 $ を除く極と $ \zeta (s) $ の自明な零点 は打ち消しあい特異点でなくなる。よって $ (1) $ 式は、$ s=0 $ と $ s=1 $ に極をもち、それ以外には $ \zeta (s) $ の非自明な零点と同じ零点をもつ。

  一方$ \xi(s) $ は、 $ s>1 $ で次式で表現できる。

 \begin{equation}  \xi(s)=\int_{1}^{\infty}(t^{s/2}+t^{(1-s)/2})\sum_{n=1}^{\infty}{\rm exp}(-\pi n^{2}t)(1/t)dt -\frac{1}{s(1-s)}  \tag{2} \end{equation}

しかしこのままでは、 $ s>1 $ 以外の場所で有限値をもつかはわからない。

ところが、せきゅーんさんのブログの記事に書かれているように、積分部分の被積分関数は一様収束し、その結果、モレラの定理によって、 $ (2) $ 式も $ s=0 $ と $ s=1 $以外で有限値をもつことがわかる。

 ここで $ s=a+i b $とおくと

 \begin{equation}  \xi(a+i b)=\int_{1}^{\infty}(t^{(a+i b)/2}+t^{(1-(a+i b))/2})\sum_{n=1}^{\infty}{\rm exp}(-\pi n^{2}t)(1/t)dt -\frac{1}{(a+i b)(1-(a+ib))} \end{equation}

 \begin{equation} \xi(a+i b)=\int_{1}^{\infty}(t^{(a/2+i b/2)}+t^{(1-a)/2-i b/2})\sum_{n=1}^{\infty}{\rm exp}(-\pi n^{2}t)(1/t)dt -\frac{1}{(a+i b)(1-a-i b)} \end{equation}

 \begin{equation} \xi(a+i b)=\int_{1}^{\infty}(t^{a/2}e^{(ib \ {\rm ln} \ t)/2} +t^{(1-a)/2}e^{-(ib \ {\rm ln} \ t)/2} )\sum_{n=1}^{\infty}{\rm exp}(-\pi n^{2}t)(1/t)dt \end{equation}

\begin{equation} -\frac{1}{(a+i b)(1-a-i b)} \end{equation}

ここで、 $ u={\rm ln} \ t $ とおいて置換積分する。

 $ t={\rm exp}\ u $ 、 $du=\frac{1}{t}dt $　、 $ t = 1\rightarrow \infty $ のとき $ u = 0 \rightarrow \infty $

 \begin{equation} \xi(a+i b)=\int_{0}^{\infty} (e^{a u/2}e^{i b u/2}+e^{(1-a)u/2}e^{-ib u/2})\sum_{n=1}^{\infty}{\rm exp}(-\pi n^{2}e^{u})du \end{equation}

\begin{equation} -\frac{1}{(a+i b)(1-a-i b)} \end{equation}

ここで $ a=\frac{1}{2} $ とおくと

 \begin{equation} \xi(\frac{1}{2}+i b)=\int_{0}^{\infty} (e^{u/4}e^{i b u/2}+e^{u/4}e^{-ib u/2})\sum_{n=1}^{\infty}{\rm exp}(-\pi n^{2}e^{u})du \end{equation}

\begin{equation} -\frac{1}{(\frac{1}{2}+i b)(\frac{1}{2}-i b)} \end{equation}

 \begin{equation} \xi(\frac{1}{2}+i b)=2 \int_{0}^{\infty} (e^{u/4}{\rm cos} \ (b u/2))\sum_{n=1}^{\infty}{\rm exp}(-\pi n^{2}e^{u})du \end{equation}

\begin{equation} -\frac{1}{\frac{1}{4}+b^{2}} \end{equation}

ここで、虚部が消えてしまっていることに気付く。

実部1/2の直線上で、クシー関数の値の虚部が０になることを意味する。

 ここで $ u/2=2\pi u' $ とおいて置換積分する。

 $ du=4\pi du' $ 、$ u = 0\rightarrow \infty $ のとき $ u' = 0 \rightarrow \infty $

\begin{equation} \xi(\frac{1}{2}+i b)=8 \pi  \int_{0}^{\infty} (e^{\pi u'}{\rm cos} \ (2 \pi b u'))\sum_{n=1}^{\infty}{\rm exp}(-\pi n^{2}e^{4 \pi u'})du' \end{equation}

\begin{equation} -\frac{1}{\frac{1}{4}+b^{2}} \end{equation}

\begin{equation} \xi(\frac{1}{2}+i b)=8 \pi  \int_{0}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}{\rm exp}(\pi u' -\pi n^{2}e^{4 \pi u'}){\rm cos} \ (2 \pi b u')du' \end{equation}

\begin{equation} -\frac{1}{\frac{1}{4}+b^{2}} \end{equation}

\begin{equation} \xi(\frac{1}{2}+i b)=4 \pi  \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}{\rm exp}(\pi |u'| -\pi n^{2}e^{4 \pi |u'|}){\rm cos} \ (2 \pi b u')du' \end{equation}

\begin{equation} -\frac{1}{\frac{1}{4}+b^{2}} \end{equation}

よって、 $ \xi(\frac{1}{2}+i b) $ は、実数であり、実軸に対して偶関数であることが

わかる。さらに、

\begin{equation} \xi(\frac{1}{2}+i b) + \frac{1}{\frac{1}{4}+b^{2}}=4 \pi  \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}{\rm exp}(\pi ( |u'| -n^{2}e^{4 \pi |u'|})){\rm cos} \ (2 \pi b u')du' \end{equation}

とすると

\begin{equation} \int_{- \infty}^{\infty} (\xi(\frac{1}{2}+i b) + \frac{1}{\frac{1}{4}+b^{2}}){\rm cos} \ (2 \pi b u')d b=4 \pi   \sum_{n=1}^{\infty}{\rm exp}(\pi ( |u'| -n^{2}e^{4 \pi |u'|})) \end{equation}

となり、  $ \xi(\frac{1}{2}+i b) + \frac{1}{\frac{1}{4}+b^{2}} $ と $ 4 \pi   \sum_{n=1}^{\infty}{\rm exp}(\pi ( |u'| -n^{2}e^{4 \pi |u'|})) $ はフーリエ変換、逆変換の形で結ばれる。ここで、$ -i{\rm sin}(2 \pi b u') $ は、偶関数のフーリエ変換では、奇関数項がないため、消えてしまうので無くてもよい。

 $ (1) $ 式は、$ s=0 $ と $ s=1 $ に極をもち、それ以外には零点をもつが

その零点は $ \zeta (s) $ の非自明な零点と一致する。リーマン予想が正しいとすると、 $ \xi(\frac{1}{2}+i b) $

の零点(実数）は、 $ \zeta (s) $ の非自明な零点と一致する。

 $ 4 \pi   \sum_{n=1}^{\infty}{\rm exp}(\pi ( |u'| -n^{2}e^{4 \pi |u'|})) \ \   (u' \geqq 0) $の

関数形はグラフをかかせると次の写真のようになる。その結果、この関数には

リーマンのゼータ関数のすべての零点の情報が、含まれていることになるのである。

言い過ぎかもしれないが、非自明な零点の間隔を決めている関数ともいえなくはないと

思っている。

そして、非自明な零点の間隔つまり零点の位置がわかれば、リーマンの素数公式の

振動項の計算式に代入して、J(x)の振動項がもとまり、素数がもとまる。

つまり、下のグラフには、素数の情報がすべて含まれている。

下のグラフから、手順を踏んで計算を行えば、すべての素数がでてくるのである。