GF(2)でf(x^2)=f(x)^2が成り立つわけ

なんでかわかんなかった係数が０か１のつまりGF(2)の場合の多項式についてf(x^2)=f(x)^2が成り立つわけがわかった。

GF(2)のガロア体の多項式の一般形で表すと数学的帰納法で証明できる

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2の公式を順番に適用していけばよい。

GF(2)のガロア体の多項式の一般形をf(x)とすると

f(x)=an*X^n+an-1*X^(n-1)+・・・+a1*X+a0

GF(2)なのでan(n=0～n)=｛0,1}

f(x)^2=(an*X^n+an-1*X^(n-1)+・・・+a1*X+a0)^2
=an^2*X^(2n)+2*(an*X^n)*(an-1*X^(n-1)+an-2*X^(n-2)+・・・＋a1*X+a0)+
(an-1*X^(n-1)+an-2*X^(n-2)+・・・＋a1*X+a0)^2

ここで2abにあたる項はGF(2)上では0になる。
よって
f(x)^2=an^2*X^(2n)＋(an-1*X^(n-1)+an-2*X^(n-2)+・・・＋a1*X+a0)^2
上の式の第二項も同様に初項をaとほかの項をbとしてやっていけば
最後に
f(x)^2=an^2*X^(2n)+an-1^2*X^2(n-1)+・・・+a1^2*X^2+a0^2

となる

ここでan={0,1}
なので
an=1のとき
an^2=1*1=1=an
an=0のとき
an^2=0*0=0=an
となってan^2=an
がいえる

したがって
f(x)^2=an^2*X^(2n)+an-1^2*X^2(n-1)+・・・+a1^2*X^2+a0^2
=an*(X^2)^n+an-1*(X^2)^(n-1)+・・・+a1*X^2+a0
=f(x^2)となるのである。